V herecké branži začal s dabingem, a to již ve svých osmi letech. Byl opakovaně nominován na cenu Františka Filipovského za mimořádný dětský herecký výkon v dabingu. Po roce na Mezinárodní konzervatoři Praha začal Jindřich Žampa roku 2015 studovat Pražskou konzervatoř.
Na televizní obrazovce se Jindřich Žampa poprvé mihl roku 2011 v pohádce Micimutr a ve filmu Čertova nevěsta Zdeňka Trošky. Hlavní roli ztvárnil v krátkém filmu Amanitas (2015) po boku zkušených herců: Lenky Krobotové, Kláry Melíškové a Martina Fingera. Tento snímek byl roku 2016 nominován na Českých lvech na cenu Magnesia za nejlepší studentský film. Jindřich Žampa se objevil v seriálech Policie Modrava, Přešlapy či Ulice.
